Nguyên lý bao hàm-loại trừ được sử dụng rộng rãi nên chỉ có một vài được nhắc ở dưới đây.

Đếm số phần giao

Nguyên lý bao hàm-loại trừ khi kết hợp với luật De Morgan, có thể dùng để đếm số lực lượng của phần giao của các tập hợp. Gọi A k ¯ {\displaystyle {\overline {A_{k}}}} là phần bù của Ak tương ứng với tập phổ dụng A nào đó sao cho A k ⊆ A {\displaystyle A_{k}\subseteq A} với mỗi k. Khi đó ta có

⋂ i = 1 n A i = ⋃ i = 1 n A i ¯ ¯ {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}={\overline {\bigcup _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}}}}

Do đó chuyển bài toán từ đếm phần giao sang đếm phần hợp.

Tô màu đồ thị

Nguyên lý bao hàm-loại trừ lập thành cơ sở của các thuật toán giải các bài phân hoạch đồ thị thuộc lớp NP-hard, ví dụ chẳng hạn như tô màu đồ thị.[11]

Một ứng dụng nổi bật của nguyên lý là phương pháp xây đa thức xắc số.[12]

So khớp hoàn hảo trong đồ thị hai phía

Số các so khớp hoàn hảo của một đồ thị hai phía có thể tính bằng nguyên lý này.[13]

Đếm số toàn ánh

Câu hỏi đặt ra là cho hai tập con A và B, có bao nhiêu hàm toàn ánh đi từ A đến B? Không mất tính tổng quát, ta có thể lấy A = {1, ..., k} và B = {1, ..., n}, bởi ta chỉ quan tâm đến lực lượng của mỗi tập hợp. Gọi S là tập các hàm từ A đến B, và định nghĩa với mỗi i thuộc B, tính chất Pi :"hàm bỏ qua giá trị i thuộc B" (i không nằm trong ảnh của hàm số), nguyên lý bao hàm-loại trừ sẽ đếm số toàn ánh giữa A và B như sau:[14]

∑ j = 0 n ( n j ) ( − 1 ) j ( n − j ) k . {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-1)^{j}(n-j)^{k}.}

Đếm các hoán vị cấm vị trí

Hoán vị của tập hợp S = {1, ..., n} trong đó mỗi phần tử thuộc S có thể bị cấm ngồi vị trí nào đó (ở đây là hoán vị được coi là cách sắp xếp thứ tự các phần tử thuộc S) được ta tạm gọi là hoán vị cấm vị trí. Ví dụ chẳng hạn, cho S = {1,2,3,4}, các hoán vị thoả mãn hai điều kiện cấm: 1 không được nằm tại vị trí 1 hoặc 3, và 2 không nằm trong vị trí 4 là: 2134, 2143, 3124, 4123, 2341, 2431, 3241, 3421, 4231 và 4321. Đặt Ai là tập các vị trí mà i không được phép ngồi vào, và tính chất Pi là tính chất đặt i vào vị trí Ai, nguyên lý bao hàm-loại trừ có thể dùng để đếm số các hoán vị thoả mãn tất cả điều kiện cấm.[15]

Trong ví dụ trên, có 12 = 2(3!) hoán vị thoả mãn tính chất P1, 6 = 3! hoán vị thoả mãn tính chất P2 và không có hoán vị nào cho P3 hoặc P4 bởi không có điều kiện cấm cho hai giá trị đó. Số các hoán vị thoả mãn các điều kiện cấm cho trước là:

4! − (12 + 6 + 0 + 0) + (4) = 24 − 18 + 4 = 10.

Số 4 ở cuối bước tính toán là số các hoán vị thoả mãn đồng thời hai tính chất P1 và P2.

Đa thức quân xe

Đa thức quân xe là hàm sinh số cách đặt các quân xe không tân công lẫn nhau trên bàn cờ B trông như tập con của các ô vuông của bảng kẻ ô; nghĩa là, bất kỳ hai con xe không được phép đặt cùng hàng hay cùng cột và bàn cờ B là tập con bất kỳ của các ô vuông của một bàn cờ hình chữ nhật có n hàng và m cột; ta có thể gọi nó là tập các ô được phép đặt quân lên. Hệ số rk(B) của xk trong đa thức quân xe RB(x) là số cách đặt k quân xe trong đó không có cái nào trong đó tấn công cái còn lại và có thể xếp trong bàn cờ B. Cho bất kỳ bàn B, có bàn bù B ′ {\displaystyle B'} chứa các ô vuông cùa bàn hình chữ nhật và không nằm trong B. Cái bàn bù này cũng có đa thức quân xe R B ′ ( x ) {\displaystyle R_{B'}(x)} cùng với các hệ số r k ( B ′ ) . {\displaystyle r_{k}(B').}

Đôi khi để tiện cho tính toán, ta tính hệ số cao nhất trong đa thức quân xe bằng các hệ số của đa thức quân xe của bàn bù.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n ≤ m, do đó hệ số này là rn(B). Số cách đặt n quân xe không tấn công lẫn nhau trên bàn kẻ ô đầy đủ n × m (chưa quan tâm tới việc liệu các quân có đúng đặt trong bànB) được tính theo giai thừa giảm sau:

( m ) n = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ⋯ ( m − n + 1 ) . {\displaystyle (m)_{n}=m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1).}

Gọi Pi là tính chất đặt n quân xe không tấn công nhau trên bàn đầy đủ có quân ở cột i và không nằm trong ô thuộc bàn B, thì theo nguyên lý bao hàm-loại trừ, ta có công thức:[16]

r n ( B ) = ∑ t = 0 n ( − 1 ) t ( m − t ) n − t r t ( B ′ ) . {\displaystyle r_{n}(B)=\sum _{t=0}^{n}(-1)^{t}(m-t)_{n-t}r_{t}(B').}

Hàm phi Euler

Hàm phi Euler hay gọi ngắn lại đi là hàm phi, φ(n) là hàm số học đếm số các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Nghĩa là, nếu n là số nguyên dương, thì φ(n) là số các số nguyên k thuộc đoạn 1 ≤ k ≤ n không có ước chung với n nào khác ngoài 1. Nguyên lý bao hàm -loại trừ có thể dùng để tìm ra công thức cho φ(n). Gọi S là tập {1, …, n} và định nghĩa tính chất Pi là số thuộc S chia hết cho số nguyên tố pi, với 1 ≤ i ≤ r,trong đó phân tích thừa số nguyên tố của

n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p r a r . {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{r}^{a_{r}}.}

thì,[17]

φ ( n ) = n − ∑ i = 1 r n p i + ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ r n p i p j − ⋯ = n ∏ i = 1 r ( 1 − 1 p i ) . {\displaystyle \varphi (n)=n-\sum _{i=1}^{r}{\frac {n}{p_{i}}}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant r}{\frac {n}{p_{i}p_{j}}}-\cdots =n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).}